Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 30 Οκτωβρίου 2009

Ανάλυσης - Ο διάδρομος με τα 1000 φώτα (**)

Σ' ένα μοναστήρι υπάρχει ένας τεράστιος διάδρομος που φωτίζεται με 1000 διαδοχικά τοποθετημένα φώτα. Κάτω από το καθένα κρέμεται ένα κορδόνι που ανοίγει και κλείνει το αντίστοιχο φως.

Κάθε δέκα χρόνια ένας μοναχός ακολουθεί την εξής ιεροτελεστία:
Αρχικά όλα τα φώτα είναι σβηστά. Την πρώτη μέρα περνάει από τον διάδρομο και τραβάει όλα τα κορδόνια. Έτσι ανάβουν όλα τα φώτα του. Τη δεύτερη μέρα τραβάει κάθε δεύτερο κορδόνι, δηλαδή σβήνει τα φώτα Νο 2, 4, 6, 8, κλπ. Την τρίτη μέρα τραβάει κάθε τρίτο κορδόνι, δηλαδή αυτό που αντιστοιχεί στα φώτα Νο 3, 6, 9, κλπ.
Τη διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνει μέχρις ότου τραβήξει μόνο το κορδόνι του φωτός Νο 1000.

Εκείνη την ημέρα ποια φώτα θα είναι αναμμένα;
Κι ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Δώστε μια μαθηματική εξήγηση γιατί θα είναι μόνο αυτά.

1 σχόλιο:

pantsik είπε...

Λύση :

Θα είναι τα φώτα Νο 1, 4, 9, 16, 25, 36, κλπ., δηλαδή όλα τα τέλεια τετράγωνα μέχρι τον αριθμό 1000.
Ο λόγος είναι ο εξής: Κάθε φως αλλάζει κατάσταση τόσες φορές όσες και ο αριθμός των διαιρετών του. Π.χ. οι διαιρέτες του φωτός Νο 14 είναι οι 1, 2, 7, 14, δηλαδή τέσσερις. Οι περισσότεροι ακέραιοι έχουν άρτιο αριθμό διαιρετών γιατί κάθ' ένας διαιρέτης έχει και το ζευγάρι του, που το γινόμενό τους μας δίνει τον ζητούμενο αριθμό. Ζευγάρι επίσης αποτελούν για κάποιον αριθμό n, οι διαιρέτες του, 1 και n. Έτσι εάν το φως Νο 14 ξεκίνησε σβηστό, μετά από άρτιο αριθμό αλλαγών της κατάστασής του θα καταλήξει και πάλι σβηστό.
Εξαίρεση σ' αυτόν τον κανόνα αποτελούν οι αριθμοί που έχουν κάποιον διαιρέτη που αν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του μας δίνει τον αριθμό. Έτσι π.χ. ο αριθμός 9 έχει για διαιρέτες τους 1, 3, 9, δηλαδή περιττό αριθμό διαιρετών. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται τέλεια τετράγωνα και τα αντίστοιχα φώτα τους που ξεκινάνε σβηστά καταλήγουν αναμμένα.