Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" και ".Άλυτοι 101-200" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 30 Οκτωβρίου 2009

Έμπνευσης - Ο τυχερός καθαριστής (**)

Ένας εργάτης καθάριζε τα τζάμια των παραθύρων ενός πανύψηλου κτιρίου γραφείων, όταν γλίστρησε και έπεσε από μια σκάλα ύψους 18 μέτρων στο τσιμεντένιο πεζοδρόμιο που βρισκόταν από κάτω. Κατά έναν περίεργο τρόπο δεν τραυματίστηκε καθόλου. Γιατί;

Έμπνευσης - Παραβάσεις (**)

Ο καθηγητής Σοφός, ο οποίος είχε αρχίσει να γερνάει, γινόταν όλο και πιο αφηρημένος. Κάποια μέρα ενώ πήγαινε να δώσει μία διάλεξη, πέρασε με κόκκινο και μπήκε αντίθετα σ' ένα μονόδρομο. Κάποιος αστυνομικός είδε όλη τη σκηνή, αλλά δεν έκανε τίποτα. Γιατί ο καθηγητής δεν είχε καμία συνέπεια;

Έμπνευσης - Δώρο γενεθλίων (*)

Ένας πατέρας αποφασίζει να κάνει μια επένδυση για το γιο του. Σε κάθε επέτειο των γενεθλίων του κάνει γι' αυτόν μια κατάθεση στην τράπεζα των 100 ευρώ. Όταν ο μικρός έγινε 20 χρονών πάει στην τράπεζα να εισπράξει το ποσό. Προς έκπληξή του όμως διαπιστώνει ότι στον λογαριασμό του έχουν κατατεθεί μόνο 500 ευρώ. Πώς γίνεται αυτό;

Έμπνευσης - Αγώνας τένις (***)

Δύο άντρες παίζουν τένις. Έπαιξαν πέντε σετ και ο καθένας κέρδισε τρία σετ. Πώς έγινε αυτό;

Έμπνευσης - Ο σοφός ασκητής (***)

Ένας χαλίφης, λίγο πριν πεθάνει, για να αποφασίσει ποιον από τους δύο γιους του θα κάνει χαλίφη, τους φώναξε και τους είπε να πάνε στο κέντρο της ερήμου και να κάνουν έναν αγώνα δρόμου με τις καμήλες τους προς το χαλιφάτο. Τους ανακοίνωσε όμως πως χαλίφης θα γίνει αυτός που η καμήλα του θα τερματίσει δεύτερη! Πράγματι, οι δυο νέοι έφεραν τις καμήλες τους στην έρημο, αλλά δεν ξεκινούσε κανείς. Πολύ προβληματισμένοι, βλέπουν έναν σοφό ασκητή και σκέφτονται να ρωτήσουν τη γνώμη του για το πως θα λύσουν το πρόβλημά τους. Ο σοφός άντρας τους ψιθυρίζει κάτι και αμέσως αυτοί καβαλάνε τις καμήλες κι αρχίζουν να τρέχουν προς το χαλιφάτο. Τι τους είπε ο ασκητής;

Έμπνευσης - Ο πεισματάρης δράκος (***)

Πίσω στον Μεσαίωνα υπήρχε μία μεγάλη γέφυρα που στη μέση της κοιμόταν ένας δράκος. Τη γέφυρα αυτή μπορούσε να τη διασχίσει κάθε ιππότης μόνο πεζός και σε χρόνο όχι λιγότερο από 15 λεπτά. Το πρόβλημα ήταν πως κάθε 10 λεπτά ακριβώς, ο δράκος ξυπνούσε και όποιον έβλεπε να προσπαθεί να την διασχίσει τον γυρνούσε πίσω. Φυσικά ούτε λόγος δεν γινόταν να του επιτεθεί κανείς. Έτσι όλοι οι ιππότες αναγκάζονταν να κάνουν έναν πολύ μεγαλύτερο γύρο για να περάσουν απέναντι. Κάποιος ιππότης όμως βρήκε έναν έξυπνο τρόπο και διέσχισε τελικά τη γέφυρα. Τι έκανε;

Έμπνευσης - Ο αχάριστος συλλέκτης (***)

Ένας πλούσιος συλλέκτης έργων τέχνης είχε προγραμματίσει ένα αεροπορικό ταξίδι στο εξωτερικό για μία σημαντική δημοπρασία. Το πρωί της ίδιας μέρας όμως και λίγες ώρες πριν αναχωρήσει, τον παίρνει στο τηλέφωνο ο νυχτοφύλακάς του και του λέει πως το περασμένο βράδυ είχε δει ένα πολύ άσχημο όνειρο: Η πτήση του θα έπεφτε και όλοι οι επιβάτες θα έβγαιναν από μέσα νεκροί. Ο συλλέκτης προσπάθησε να τον καθησυχάσει αλλά αυτός ήταν τόσο επίμονος ότι το όνειρο έμοιαζε πολύ αληθινό, που τελικά τον έπεισε να ακυρώσει την πτήση του.
Και πράγματι λίγες ώρες αργότερα η συγκεκριμένη πτήση συνετρίβη με τραγική συνέπεια για όλους τους επιβαίνοντες. Αναστατωμένος ο συλλέκτης παίρνει αμέσως τον νυχτοφύλακά του στο τηλέφωνο και του λέει πως τον ευχαριστεί πολύ γιατί του έσωσε τη ζωή, αλλά δυστυχώς πρέπει να τον απολύσει! Γιατί τον απέλυσε;

Έμπνευσης - Κληρονομικό χάρισμα (***)

Ένα διάσημο μέντιουμ ισχυρίζεται πως μπορεί να προβλέψει το σκορ κάθε ποδοσφαιρικού αγώνα πριν ακόμα αρχίσει. Πως γίνεται οι προβλέψεις του να είναι πάντα σωστές;

Έμπνευσης - Μυστήριο στην εξοχή (*****)

Ένα ζευγάρι σκοπεύει να κάνει μια εκδρομή με αυτοκίνητό στην εξοχή. Πριν ξεκινήσουν ελέγχουν καλά το αυτοκίνητο και σιγουρεύονται πως είναι άδειο. Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού παρουσιάζεται μια ανάγκη και ο άντρας σταματάει σε ένα βενζινάδικο που βρήκαν τυχαία στο δρόμο τους για να ζητήσει βοήθεια. Για καλό και για κακό κλειδώνει τις πόρτες, κλείνει τα παράθυρα και λέει στη γυναίκα του να τον περιμένει εκεί μέχρι να γυρίσει. Όταν τελικά γύρισε, βρήκε τη γυναίκα του νεκρή και δίπλα της κάποιον που δεν τον είχε ξαναδεί. Το αυτοκίνητο ήταν ανέπαφο και οι πόρτες και τα παράθυρα κλειδωμένα, όπως τα είχε αφήσει. Τι είχε συμβεί;

Έμπνευσης - Η κότα έκανε τ' αβγό; (***)

Τι έγινε πρώτο, το αβγό ή η κότα; Εξηγήστε γιατί.

Ανάλυσης - Κυνήγι αρκούδων (****)

Ένας κυνηγός ξεκινάει από τον καταυλισμό του και περπατάει ένα χιλιόμετρο νότια για να κυνηγήσει αρκούδες. Ξαφνικά βλέπει μια αρκούδα, η οποία όμως τον αντιλήφθηκε και άρχισε να τρέχει ανατολικά. Ο κυνηγός την κυνήγησε για ένα χιλιόμετρο αλλά δεν κατόρθωσε να την προλάβει. Απογοητευμένος περπάτησε ένα χιλιόμετρο βόρεια και ξαναγύρισε στον καταυλισμό του. Τι χρώμα είχε η αρκούδα;

Έμπνευσης - Bibliofagus (****)

Ένα σκουλήκι της οικογένειας bibliofagus εισχωρεί σ' ένα σπίτι κι αρχίζει να τρώει μία δεκάτομη εγκυκλοπαίδεια που είναι τοποθετημένη στη βιβλιοθήκη. Ο τρόπος που την τρώει είναι ο εξής: Ξεκινάει από τη σελίδα Νο 1 του πρώτου τόμου και τρώγοντας σε ευθεία και κάθετη γραμμή τρυπάει μέχρι τη σελίδα Νο 100 (τελευταία σελίδα) του δέκατου τόμου. Αν το κάθε εξώφυλλο του κάθε τόμου της εγκυκλοπαίδειας έχει πάχος 1 εκατοστό και τα φύλλα του πάχος 8 εκατοστά (συνολικό πάχος του κάθε τόμου 10 εκατοστά), πόσα εκατοστά διέσχισε το σκουλήκι τρώγοντας;

Έμπνευσης - Δολοφονικά ποτά (*****)

Δύο φίλοι κάθονται σ' ένα μπαρ και πίνουν από ένα ποτό. Τα ποτά είναι και τα δύο ίδια. Κάποιος που τους μισεί έχει βάλει την ίδια ποσότητα δηλητηρίου μέσα και στα δύο ποτήρια. Μόλις πιουν και οι δύο το ποτό τους, ο ένας φίλος πεθαίνει από δηλητηρίαση ενώ ο άλλος είναι μια χαρά. Κανείς δεν έχει πάρει αντίδοτο, ούτε έχει ανοσία. Πώς γίνεται αυτό;

Συνδυασμών - Το πέρασμα από την έρημο (***)

Ανάμεσα σε δύο πόλεις της Αφρικής υπάρχει μία έρημος. Την έρημο αυτή μπορεί να την διασχίσει κάποιος μόνο πεζός σε 6 ημέρες. Μπορεί να κουβαλάει στην πλάτη του ένα σακίδιο με φαγητό και νερό, αλλά λόγω βάρους οι προμήθειες δεν μπορούν να διαρκούν για περισσότερο από 4 ημέρες. Πόσοι ταξιδιώτες τουλάχιστον χρειάζεται να συνδυαστούν ώστε να καταφέρει ο ένας από αυτούς να διασχίσει την έρημο και οι υπόλοιποι να γυρίσουν πίσω ασφαλείς; Με ποιο τρόπο θα τα καταφέρουν;

Συνδυασμών - Ιεραπόστολοι και κανίβαλοι (**)

Τρεις ιεραπόστολοι και τρεις κανίβαλοι θέλουν να διασχίσουν ένα ποτάμι. Στη διάθεσή τους έχουν μία βάρκα που χωράει δύο επιβάτες σε κάθε διαδρομή της. Αν οποιαδήποτε στιγμή σε κάποια όχθη του ποταμού υπάρχουν περισσότεροι κανίβαλοι από ιεραπόστολους θα τους φάνε. Με ποιον τρόπο θα περάσουν όλοι απέναντι;

Λογικής - Χώρισμα της τράπουλας (****)

Βρίσκεστε σε ένα σκοτεινό δωμάτιο με τα μάτια σας δεμένα και κάποιος σας δίνει μια κανονική τράπουλα με 52 φύλλα. Σας λέει πως στην τράπουλα αυτή υπάρχουν σε τυχαίες θέσεις 13 φύλλα τα οποία είναι γυρισμένα ανάποδα, δηλαδή είναι ανοιχτά ενώ τα υπόλοιπα είναι κλειστά. Δεν υπάρχει κανένας τρόπος να ξεχωρίσετε τα ανοιχτά από τα κλειστά, ούτε να εντοπίσετε τις θέσεις τους.
Το ζητούμενο είναι να χωρίσετε τα 52 φύλλα σε δύο στοίβες (όχι απαραίτητα με τον ίδιο συνολικό αριθμό φύλλων η κάθε μία) έτσι ώστε η κάθε στοίβα να έχει τον ίδιο αριθμό ανοιχτών φύλλων.

Λογικής - Πεντάρι στο ΠΡΟ-ΠΟ (**)

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στηλών που πρέπει να παίξει κανείς στο ΠΡΟ-ΠΟ (το κλασσικό με τους 13 αγώνες) για να πιάσει οπωσδήποτε πεντάρι;

Λογικής - Χειραψίες (****)

Πέντε ζευγάρια συναντιόνται για φαγητό σε ένα εστιατόριο. Πριν καθίσουν να φάνε γίνονται οι απαραίτητες συστάσεις γιατί κάποιοι δεν γνωρίζονταν μεταξύ τους. Όσοι δεν γνωρίζονταν ανταλλάσσουν μια χειραψία. Φυσικά τα αντρόγυνα δεν ανταλλάσσουν χειραψία γιατί γνωρίζονται μεταξύ τους.
Στο τέλος της διαδικασίας χειραψιών, ο Γιάννης ρωτάει τον καθένα τους πόσες χειραψίες έκανε και παίρνει τις απαντήσεις 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 και 8, αλλά δεν ξέρουμε ποιος απάντησε τι.
Πόσες χειραψίες αντάλλαξε η γυναίκα του Γιάννη;

Ανάλυσης - Ο διάδρομος με τα 1000 φώτα (**)

Σ' ένα μοναστήρι υπάρχει ένας τεράστιος διάδρομος που φωτίζεται με 1000 διαδοχικά τοποθετημένα φώτα. Κάτω από το καθένα κρέμεται ένα κορδόνι που ανοίγει και κλείνει το αντίστοιχο φως.

Κάθε δέκα χρόνια ένας μοναχός ακολουθεί την εξής ιεροτελεστία:
Αρχικά όλα τα φώτα είναι σβηστά. Την πρώτη μέρα περνάει από τον διάδρομο και τραβάει όλα τα κορδόνια. Έτσι ανάβουν όλα τα φώτα του. Τη δεύτερη μέρα τραβάει κάθε δεύτερο κορδόνι, δηλαδή σβήνει τα φώτα Νο 2, 4, 6, 8, κλπ. Την τρίτη μέρα τραβάει κάθε τρίτο κορδόνι, δηλαδή αυτό που αντιστοιχεί στα φώτα Νο 3, 6, 9, κλπ.
Τη διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνει μέχρις ότου τραβήξει μόνο το κορδόνι του φωτός Νο 1000.

Εκείνη την ημέρα ποια φώτα θα είναι αναμμένα;
Κι ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Δώστε μια μαθηματική εξήγηση γιατί θα είναι μόνο αυτά.

Συνδυασμών - Επισφαλές φορτίο (*)

Ένας βοσκός θέλει να διασχίσει με τη βάρκα του ένα ποτάμι, παίρνοντας μαζί του μία αλεπού, μία χήνα και ένα καλαμπόκι. Εάν τις αφήσει μόνες τους, η αλεπού θα φάει τη χήνα ή η χήνα θα φάει το καλαμπόκι. Πως θα τα περάσει και τα τρία απέναντι, δεδομένου ότι η βάρκα του έχει χώρο μόνο γι' αυτόν και ένα από τα υπάρχοντά του;

Συνδυασμών - Τα τρία μπιφτέκια (*)

Κάποιος θέλει να ψήσει τρία μπιφτέκια σ' ένα μπάρμπεκιου που χωράει μόνο δύο. Χρειάζονται 5 λεπτά για να ψηθεί η κάθε πλευρά του μπιφτεκιού, οπότε υπολογίζει πως χρειάζεται 10 λεπτά για να ψήσει τις δύο πλευρές των δύο πρώτων μπιφτεκιών και άλλα 10 για να ψήσει το τρίτο. Μήπως υπάρχει κανένας συντομότερος τρόπος;

Ανάλυσης - Τα μαγικά κεριά (***)

Έχουμε επτά μαγικά κεριά τοποθετημένα κυκλικά. Όλα τους είναι αναμμένα. Αυτό που τα κάνει μαγικά είναι ότι όταν φυσάμε για να σβήσουμε ένα από αυτά, σβήνουν επίσης το αριστερό και το δεξί από αυτό. Ομοίως όταν φυσάμε ένα σβηστό κερί, ανάβει τόσο αυτό όσο και τα δύο πλαϊνά του. Εάν το ένα από τα δύο πλαϊνά είναι αναμμένο και το άλλο σβηστό, θα σβήσει το πρώτο και θ' ανάψει το δεύτερο. Γενικά ισχύει ότι φυσώντας οποιοδήποτε κερί, αλλάζει η κατάσταση τόσο αυτού όσο και των δύο πλαϊνών του. Πως θα μπορέσουμε να τα σβήσουμε όλα;

Πέμπτη, 29 Οκτωβρίου 2009

Συνδυασμών - Μεταφορές νερού (***)

Έχουμε τρία δοχεία. Το ένα χωράει 10, το άλλο 7 και το τρίτο 3 λίτρα νερό. Αυτό που χωράει 10 είναι γεμάτο και τ' άλλα δύο άδεια. Πως μπορούμε να βάλουμε σε ένα από τα δοχεία ακριβώς 5 λίτρα νερό, χωρίς ζυγαριά, κάνοντας μόνο μεταφορές νερού απ' το ένα δοχείο στο άλλο;

Συνδυασμών - Το πέρασμα της γέφυρας (***)

Τέσσερις φίλοι θέλουν να διασχίσουν μία γέφυρα στο σκοτάδι. Επειδή έχουν διαφορά στην ταχύτητα, απαιτούνται 1, 2, 5 και 10 λεπτά αντίστοιχα για τον καθένα τους για να περάσει απέναντι. Η γέφυρα αντέχει το βάρος μόνο δύο εξ αυτών και όταν περνάνε δύο μαζί, είναι αναγκασμένοι να περάσουν στον χρόνο του πιο αργού. Έχουν μαζί τους έναν φακό που είναι απαραίτητος για να τη διασχίσουν, γι' αυτό κάθε φορά πρέπει κάποιος να τον επιστρέφει. Ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για να περάσουν και οι τέσσερις απέναντι;

Συνδυασμών - Η χρυσή αλυσίδα (****)

Ένας ενεχυροδανειστής σου δίνει ένα δάνειο το οποίο πρέπει να ξεπληρώσεις μετά από 7 ημέρες. Το μόνο που μπορείς να του αφήσεις για ενέχυρο είναι μία χρυσή αλυσίδα. Μιας και η αλυσίδα έχει 7 κρίκους πιασμένους ο ένας με τον άλλο σε σειρά και επειδή δεν του έχεις και πολύ εμπιστοσύνη, συμφωνείτε να του δίνει έναν κρίκο της αλυσίδας κάθε μέρα. Την τελευταία μέρα θα σου επιστρέψει και τους 7 κρίκους και θα του ξεπληρώσεις το δάνειο σε μετρητά. Επειδή όμως η αλυσίδα έχει για σένα συναισθηματική αξία, θέλεις να κόψεις όσο το δυνατόν λιγότερους κρίκους γίνεται, τους οποίους θα πρέπει να δόσεις να σου ξαναενώσουν όταν την πάρεις πίσω. Πόσους και ποιους κρίκους θα κόψεις για να μπορείς να του δίνεις έναν κάθε μέρα;

Συνδυασμών - Το βράσιμο του αβγού (****)

Έχουμε ένα μπρίκι με νερό που βράζει και ένα αβγό που πρέπει να βράσουμε για εννέα λεπτά ακριβώς. Δυστυχώς δεν έχουμε κανένα ρολόι παρά μόνο δύο κλεψύδρες, η μία διάρκειας επτά και η άλλη τεσσάρων λεπτών. Ποιος είναι ο συντομότερος τρόπος για να μετρήσουμε εννέα λεπτά;

Ζυγίσεων - 27 νομίσματα (**)

Έχουμε μια ζυγαριά με δύο ζύγια και 27 ίδια νομίσματα εκ των οποίων το ένα ζυγίζει λίγο λιγότερο από τα υπόλοιπα.

Με πόσες ζυγίσεις μπορούμε να βρούμε το ελλειποβαρές νόμισμα;

Ζυγίσεων - 12 μπίλιες (*****)

Eχουμε 12 μπίλιες, η μία εκ των οποίων είναι "σκάρτη", δηλαδή είναι είτε λίγο ελαφρύτερη είτε λίγο βαρύτερη από τις άλλες. Οι μπίλιες είναι εξωτερικά πανομοιότυπες. Εχουμε και μια ζυγαριά ισορροπίας με δύο δίσκους, όπου μπορούμε να κάνουμε μέχρι 3 ζυγίσεις. Πως θα μπορέσουμε να πούμε ποια είναι "σκάρτη" και εάν είναι πιο ελαφριά ή πιο βαριά;

Ζυγίσεων - Τρεις ζυγίσεις (***)

Έχουμε μια ζυγαριά δύο δίσκων και 10 ίδια νομίσματα εκ των οποίων το ένα είναι κάλπικο. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να είναι λίγο βαρύτερο ή ελαφρύτερο από τα άλλα. Πως μπορούμε με τρεις ζυγίσεις να βρούμε ποιο είναι το κάλπικο;

Ζυγίσεων - Μία ζύγιση (****)

Έχουμε δέκα σακιά που περιέχουν 100 νομίσματα το καθένα. Το κάθε νόμισμα ζυγίζει 10 γραμμάρια. Το ένα από τα δέκα σακιά έχει μέσα μόνο κάλπικα νομίσματα, τα οποία ζυγίζουν 9 γραμμάρια το καθένα. Πως μπορούμε με μία μόνο ζύγιση σε μία ηλεκτρονική ζυγαριά ακριβείας, να βρούμε ποιο σακί περιέχει τα κάλπικα νομίσματα;

Ζυγίσεων - Δύο ζυγίσεις (****)

Έχουμε έξι βαρίδια. Ένα ζευγάρι είναι κόκκινα, ένα ζευγάρι άσπρα, και ένα ζευγάρι μπλε. Σε κάθε ζευγάρι το ένα από τα δύο βαρίδια είναι ελάχιστα βαρύτερο από το άλλο. Κατά τα άλλα τα βαρίδια κάθε ζεύγους είναι απολύτως όμοια. Τα τρία βαρύτερα βαρίδια (ένα από κάθε ζεύγος) ζυγίζουν ακριβώς το ίδιο. Το ίδιο ισχύει και για τα τρία ελαφρύτερα. Πώς μπορούμε με δύο ξεχωριστά ζυγίσματα σε μια ζυγαριά με δύο ζύγια να βρούμε ποιο είναι το βαρύτερο βαρίδι του κάθε ζεύγους;

Ζυγίσεων - Βαρίδια (****)

Ένας μανάβης έχει στη διάθεσή του μία ζυγαριά δύο δίσκων αλλά καθόλου βαρίδια. Θέλει να αγοράσει τον ελάχιστο αριθμό βαριδίων που απαιτούνται για να μπορεί να ζυγίσει οποιοδήποτε ακέραιο βάρος από ένα έως και σαράντα κιλά. Πόσα βαρίδια πρέπει ν' αγοράσει και των πόσων κιλών το καθένα;

Τρίτη, 27 Οκτωβρίου 2009

Λογικής - Οι τρεις Σοφοί (******)

Σ' αυτό το πρόβλημα δεν έχουν μπει κατά λάθος 6 αστεράκια. Σύμφωνα πάλι με την άποψη του George Boolos, πρόκειται για τον δυσκολότερο γρίφο λογικής που διατυπώθηκε ποτέ. Μια αρχική του εκδοχή παρουσιάστηκε από τον Raymond Smullyan στο βιβλίο του "What is the Name of This Book". Η εκδοχή που παρουσιάζεται εδώ έχει προκύψει μετά από αρκετές παραλλαγές και βελτιώσεις έως και το 2008.

Κάποιος επισκέπτης ενός νησιού βρέθηκε σε ένα λόφο μπροστά σε τρεις Σοφούς. Ο ένας Σοφός λέγεται Ειλικρινής και λέει πάντα την αλήθεια. Ο άλλος λέγεται Ψεύτης και λέει πάντοτε ψέματα. Ο τρίτος λέγεται Τυχαίος και απαντάει στην τύχη, πότε αλήθεια και πότε ψέματα.

Ο επισκέπτης δεν ξέρει ποιος Σοφός έχει ποια ιδιότητα, γι αυτό τους συμβολίζει με τα γράμματα Α, Β και Γ. Οι Σοφοί του βάζουν την πρόκληση να ανακαλύψει την ιδιότητα του καθενός, κάνοντάς τους μόνο τρεις ερωτήσεις οι οποίες θα πρέπει να απαντηθούν όλες με ναι ή όχι. Μια επιπλέον δυσκολία που του παρουσιάστηκε είναι πως οι Σοφοί, παρόλο που γνωρίζουν τέλεια τη γλώσσα του επισκέπτη, απαντούν μόνο στη δική τους γλώσσα με τις λέξεις da ή ja. Η μία από αυτές σημαίνει ναι και η άλλη όχι, χωρίς όμως να ξέρει ο επισκέπτης ποια είναι ποια.

Δίνονται οι πιο κάτω διευκρινίσεις:
  1. Ο κάθε Σοφός γνωρίζει την ιδιότητα των άλλων δύο.
  2. Η κάθε ερώτηση απαντιέται από έναν μόνο Σοφό. Δεν είναι απαραίτητο να γίνει μία ερώτηση σε κάθε Σοφό. Μπορεί ένας από αυτούς να ερωτηθεί περισσότερες από μία φορές.
  3. Το ποια θα είναι η δεύτερη ή η τρίτη ερώτηση μπορεί να εξαρτάται από τις απαντήσεις των προηγούμενων ερωτήσεων.
  4. Οι απαντήσεις da ή ja του Τυχαίου είναι εντελώς τυχαίες και δεν εξαρτώνται από την ερώτηση. Συνεπώς δεν μπορεί να εξαχθεί οποιαδήποτε χρήσιμη πληροφορία από τις απαντήσεις αυτές.
  5. Και οι τρεις ερωτήσεις πρέπει να απαντηθούν αποκλειστικά με da ή ja. Αν κάποια ερώτηση φέρει έναν Σοφό μπροστά σε αντίφαση, τότε ο επισκέπτης χάνει την πρόκληση.
Πως μπορεί να προσδιοριστεί η ταυτότητα του κάθε Σοφού με τρεις μόνο ερωτήσεις;

Επειδή ο γρίφος είναι δύσκολος, ξεκινώ τη λύση του όχι με τις ερωτήσεις που πρέπει να γίνουν, αλλά με μια σειρά υποδείξεων που βοηθούν στην επίλυσή του. Όσες λιγότερες υποδείξεις διαβάσετε, που δεν τις είχατε σκεφτεί από μόνοι σας, τόσο πιο περήφανοι θα πρέπει να αισθάνεστε αν φτάσετε στη λύση.

Λογικής - Ποιος είναι ο κατάσκοπος; (*****)

Αυτός ο γρίφος ανήκει στην οικογένεια των μεταγρίφων. Προβλήματα δηλαδή, που ο αναγνώστης δεν έχει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για να τα λύσει, αλλά πρέπει να φτάσει στη λύση τους με βάση τη λογική αντίδραση ενός προσώπου που τα είχε.
Σύμφωνα με την άποψη του George Boolos, καθηγητή φιλοσοφίας και μαθηματικής λογικής στο MIT, πρόκειται για τον πιο ευφυή γρίφο λογικής που διατυπώθηκε ποτέ. Προκαλώ τον αναγνώστη να προσπαθήσει να τον λύσει, αφού καταλάβει τη λογική των μεταγρίφων, λύνοντας πρώτα τα "Δύο φίλοι" και "Οι δύο δίδυμοι" στην κατηγορία της Λογικής και την "Περίπλοκη απογραφή" στην κατηγορία των Συνδυασμών.

Η υπόθεση αφορά στη δίκη τριών προσώπων, των Α, Β και Γ. Ο ένας από τους τρεις ήταν ιππότης, συνεπώς έλεγε πάντοτε την αλήθεια, ο άλλος ήταν ιπποκόμος, δηλαδή έλεγε πάντοτε ψέματα και ο τρίτος ήταν κατάσκοπος και έλεγε πότε αλήθεια και πότε ψέματα. Η δίκη γινόταν για να εντοπιστεί και να καταδικαστεί ο κατάσκοπος. Φυσικά, ο δικαστής δεν ήξερε ποιος είναι ποιος.

Αρχικά ζητήθηκε από τον Α να κάνει μια δήλωση. Εκείνος δήλωσε είτε ότι ο Γ ήταν ιπποκόμος, είτε ότι ο Γ ήταν ο κατάσκοπος - εμείς όμως δεν γνωρίζουμε ποια ήταν η δήλωσή του, παρά μόνο ο δικαστής. Στη συνέχεια ο Β δήλωσε είτε ότι ο Α ήταν ιππότης, είτε ότι ο Α ήταν ιπποκόμος, είτε ότι ο Α ήταν ο κατάσκοπος. Τέλος, ο Γ δήλωσε είτε ότι ο Β ήταν ιππότης, είτε ότι ο Β ήταν ιπποκόμος, είτε ότι ο Β ήταν ο κατάσκοπος. Με βάση τα παραπάνω, ο δικαστής κατάφερε να προσδιορίσει ποιος ήταν ο κατάσκοπος και τον καταδίκασε.

Την υπόθεση αυτή τη διηγήθηκαν σε έναν λογικολόγο, ο οποίος αφού μελέτησε το πρόβλημα, αποφάνθηκε ότι δεν είχε επαρκείς πληροφορίες για να εντοπίσει τον κατάσκοπο. Τότε ανέφεραν στον λογικολόγο την ακριβή δήλωση του Α για τον Γ και μόνο έτσι μπόρεσε να προσδιορίσει ποιος ήταν ο κατάσκοπος. Ποιος ήταν, αλήθεια; Ο Α, ο Β ή ο Γ;

Λογικής - Δύο φίλοι (**)

Κάποτε βρέθηκα μπροστά σε δύο φίλους που ήξερα ότι ο ένας λέει πάντοτε την αλήθεια και ο άλλος πότε αλήθεια και πότε ψέματα, αλλά δεν ήξερα ποιος είναι ποιος. Ρώτησα λοιπόν τον πρώτο εάν ο φίλος του λέει πάντα αλήθεια και εκείνος μου απάντησε με "ναι" ή "όχι". Αμέσως τότε κατάλαβα ποιος έλεγε πάντα αλήθεια και ποιος πότε αλήθεια και πότε ψέματα. Τι λέει ο καθένας;

Λογικής - Δήλωση ειλικρίνειας (*)

Ο Νίκος κάνει την εξής δήλωση: "Όπως όλος ο κόσμος έτσι και 'γω, λέω πάντοτε ψέματα". Τι μπορούμε να συμπεράνουμε από τη δήλωσή του; Λέει πάντα αλήθεια, πάντοτε ψέματα ή πότε αλήθεια και πότε ψέματα; Επίσης η δήλωσή του είναι αληθής ή ψευδής;

Λογικής - Την κυρία ή την τίγρη; (**)

Ένας βασιλιάς έβαλε έναν κρατούμενο μπροστά από δύο πόρτες. Η πόρτα Νο 1 έγραφε: "Σ' ΑΥΤΟ ΤΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΚΥΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΝΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ". Η πόρτα Νο 2 έγραφε: "ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΔΩΜΑΤΙΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΚΥΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΟ ΑΛΛΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ".
Ο βασιλιάς είπε στον κρατούμενο ότι η μία από τις δύο επιγραφές γράφει την αλήθεια και η άλλη ψέματα. Εάν ο κρατούμενος ανοίξει την πόρτα με την κυρία θα την παντρευτεί ενώ αν ανοίξει την πόρτα με την τίγρη θα φαγωθεί. Ποια πόρτα πρέπει να ανοίξει ο κρατούμενος;

Λογικής - Παράξενος δεκαψήφιος (***)

γρίφος παράξενος δεκαψήφιος


Στις 10 θέσεις του παραπάνω σχήματος γράψτε έναν δεκαψήφιο αριθμό, ώστε το ψηφίο στην πρώτη θέση να δείχνει τον συνολικό αριθμό των μηδενικών του αριθμού, το ψηφίο στη θέση με την ένδειξη 1 να δείχνει τον συνολικό αριθμό των 1 και ούτω καθεξής, μέχρι την τελευταία θέση, το ψηφίο της οποίας πρέπει να δείχνει τον συνολικό αριθμό των 9 στον αριθμό. Η λύση είναι μοναδική.

Λογικής - Οι καμήλες του Αμπντουλάχ (**)

"Ο Αμπντουλάχ είναι πολύ πλούσιος", είπε ο Αλή Μπαμπά. "Συγκεκριμένα έχει τουλάχιστον 100 καμήλες". "Αποκλείεται", είπε ο Ισμαήλ. "Είμαι σίγουρος ότι έχει λιγότερες από 100". "Απ' όσο ξέρω εγώ, έχει τουλάχιστον μία καμήλα", πρόσθεσε ο Φαρούχ. Αν μόνο ένας από τους τρεις έχει δίκιο, τότε πόσες καμήλες έχει ο Αμπντουλάχ;

Λογικής - Οι δέκα προτάσεις (*)

Έχουμε τις παρακάτω δέκα προτάσεις. Ποιες από αυτές είναι αληθείς και ποιες ψευδείς;

1) Μία μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδής.
2) Δύο μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
3) Τρεις μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
4) Τέσσερις μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
5) Πέντε μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
6) Έξι μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
7) Επτά μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
8) Οκτώ μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
9) Εννέα μόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
10) Δέκα από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.

Λογικής - Κόκκινο - πράσινο - μπλε (**)

Τρεις φίλοι, ο κύριος Κόκκινος, ο κύριος Μπλε και ο κύριος Πράσινος, κάθονται και συζητούν. Ο ένας φοράει κόκκινο, ο άλλος μπλε και ο τρίτος πράσινο κοστούμι. Τον λόγο παίρνει αυτός που φοράει το μπλε κοστούμι και λέει: "Προσέξατε κάτι; Κανένας μας δεν φοράει κοστούμι ίδιο με τ' όνομά του". "Πράγματι, έχεις δίκιο. Δεν το 'χα προσέξει", συμπληρώνει ο κύριος Κόκκινος. Τι χρώμα κοστούμι φοράει ο καθένας;

Λογικής - Πανέρια με φρούτα (***)

Έχουμε τρία κλειστά πανέρια και μία επιγραφή κρεμασμένη πάνω στο καθένα. Η πρώτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ", η δεύτερη γράφει "ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ" και η τρίτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ". Ξέρουμε ότι και οι τρεις επιγραφές είναι τοποθετημένες λάθος. Πως μπορούμε βγάζοντας ένα φρούτο από ένα μόνο πανέρι και χωρίς να κοιτάξουμε μέσα ή να ψαχουλέψουμε, να βάλουμε τις επιγραφές στη σωστή τους θέση;

Λογικής - Οι δύο δίδυμοι (***)

Δύο δίδυμοι παρουσιάζονται στο δικαστήριο. Ο ένας από αυτούς λέει πάντοτε ψέματα, ενώ ο άλλος πότε ψέματα και πότε την αλήθεια. Ο ένας δίδυμος, ο Τζων, είχε διαπράξει ένα έγκλημα. (Ο Τζων δεν ήταν κατ' ανάγκη αυτός που έλεγε πάντοτε ψέματα). "Είσαι ο Τζων;" ρωτάει ο δικαστής τον πρώτο δίδυμο. "Ναι, είμαι" του απαντάει. "Είσαι ο Τζων;" ξαναρωτάει ο δικαστής τον δεύτερο δίδυμο. Εκείνος του απάντησε ή "ναι" ή "όχι" και αμέσως ο δικαστής βρήκε ποιος ήταν ο Τζων. Ήταν ο πρώτος ή ο δεύτερος δίδυμος;

Λογικής - Ψεύτες ανθρωποφάγοι (**)

Ένας εξερευνητής έχει βρεθεί σε μία ζούγκλα που κατοικείται από δύο φυλές ιθαγενών. Η πρώτη φυλή αποτελείται από φιλήσυχους ιθαγενείς οι οποίοι λένε πάντα την αλήθεια. Η δεύτερη φυλή αποτελείται από ανθρωποφάγους που λένε πάντοτε ψέματα. Κατά τα άλλα είναι απολύτως όμοιοι. Τρέχοντας για να ξεφύγει από ένα λιοντάρι που τον κυνηγούσε, βρέθηκε μπροστά σε ένα σταυροδρόμι του οποίου, όπως γνώριζε, ο ένας δρόμος οδηγούσε στο χωριό των φιλήσυχων και ο άλλος στο χωριό των ανθρωποφάγων. Δεν μπορούσε όμως να θυμηθεί ποιος δρόμος οδηγεί πού. Μπροστά στο σταυροδρόμι καθόταν ένας ιθαγενής μιας εκ των δύο φυλών. Ο εξερευνητής είχε χρόνο να του κάνει μόνο μία ερώτηση. Τι θα τον ρωτήσει για να οδηγηθεί στο χωριό των φιλήσυχων ιθαγενών;

Λογικής - Εδώ είναι ο παράδεισος (****)

Ένας άνθρωπος, αμέσως μόλις πεθαίνει, βρίσκεται μπροστά από δύο πόρτες που φυλάσσονται από δύο φρουρούς. Η μία πόρτα οδηγεί στον παράδεισο και η άλλη στην κόλαση. Ο ένας από τους δύο φρουρούς λέει πάντα την αλήθεια και ο άλλος πάντοτε ψέματα και αυτό το γνωρίζουν και οι τρεις τους, δεν ξέρουμε όμως ποιος φρουρός στέκεται μπροστά από ποια πόρτα. Πώς με μία μόνο ερώτηση σε έναν από τους δύο φρουρούς, θα βρει την πόρτα που οδηγεί στον παράδεισο;

Δευτέρα, 26 Οκτωβρίου 2009

Έμπνευσης - Τρία νομίσματα (****)

Τοποθετήστε 3 νομίσματα των δύο ευρώ πάνω σε ένα εντελώς ακίνητο τραπέζι ή στο πάτωμα, ώστε τα δύο να εφάπτονται μεταξύ τους, όπως φαίνεται στην εικόνα.
Πρέπει να φέρετε το νόμισμα Γ ανάμεσα στα Α και Β (και τα τρία νομίσματα πρέπει να ακουμπάνε ολόκληρα στο τραπέζι) εφαρμόζοντας τους παρακάτω κανόνες:
1) Το νόμισμα Γ μπορείτε να το κινείτε ελεύθερα
2) Το νόμισμα Β μπορείτε να το αγγίξετε αλλά δεν μπορείτε να το μετακινήσετε με κανέναν τρόπο
3) Το νόμισμα Α δεν μπορείτε να το αγγίξετε με τίποτα.

γρίφος τρία νομίσματα

Ανάλυσης - Κατάταξη κρατουμένων (****)

Σ' ένα στρατόπεδο συγκέντρωσης Γερμανών κατά τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο, ο συνταγματάρχης των Ες-Ες μπαίνει το βράδυ στο κατάλυμα που βρίσκονται 100 κρατούμενοι και τους φέρνει ένα καλάθι με 100 σκουφάκια, εκ των οποίων τα 50 είναι άσπρα και τ' άλλα 50 μαύρα. Επικρατεί απόλυτο σκοτάδι μέσα στο κατάλυμα κι έτσι οι κρατούμενοι δεν μπορούν να δουν τίποτα.

Με το όπλο λοιπόν στο χέρι, τους διατάζει να πάρει ο καθένας τους από το καλάθι ένα σκουφάκι, να το φορέσει στο κεφάλι του (χωρίς να ξέρουν τι χρώμα φορούν) και να στοιχιθούν στην αυλή σε ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ, ο ένας πλάι στον άλλον, ούτως ώστε να βρεθούν στο αριστερό άκρο αυτοί με τα μαύρα σκουφάκια και στο δεξί άκρο αυτοί με τα άσπρα ή το αντίστροφο. Σημειωτέον ότι στο στρατόπεδο δεν υπάρχουν καθόλου ανακλαστικά αντικείμενα ώστε να μπορεί κάποιος να καθρεπτιστεί μέσα σ' αυτά (π.χ. καθρέπτες, λακκούβες με νερό κλπ.), για να δει τι χρώμα σκουφάκι φοράει. Απαγορεύεται να επικοινωνήσουν μεταξύ τους με οποιονδήποτε τρόπο και επίσης απαγορεύεται να δημιουργήσουν και δεύτερη σειρά.
Σε περίπτωση που δεν θα κατάφερναν να πραγματοποιήσουν την εντολή του (να χωριστούν οι 50 με μαύρα σκουφάκια από τους 50 με άσπρα), θα τους σκότωνε όλους.

Φορούν λοιπόν οι κρατούμενοι τα σκουφάκια τους και βγαίνουν στο προαύλιο, όπου υπήρχε λίγο φως και μπορούσαν να δουν τι χρώμα σκουφάκι φορούσαν οι υπόλοιποι, χωρίς φυσικά να τους το πουν ή να τους κάνουν οποιοδήποτε νόημα. Όταν βγήκε κι ο τελευταίος, ο σαδιστής συνταγματάρχης αντικρίζει με μεγάλη του έκπληξη μία σειρά από 100 κρατούμενους εκ των οποίων οι πρώτοι 50 φορούσαν μαύρα σκουφάκια και οι επόμενοι 50 φορούσαν άσπρα.

Πως κατάφεραν οι κρατούμενοι και μοιράστηκαν μ' αυτόν τον τρόπο;

Ανάλυσης - Όποιος πάρει το τελευταίο κερδίζει (**)

Παίζεις το παρακάτω παιχνίδι με έναν φίλο σου:
Βάζετε μπροστά σας 21 σπίρτα και ο καθένας με τη σειρά του παίρνει από 1 έως 3 από τα σπίρτα αυτά. Νικητής είναι αυτός που θα πάρει το τελευταίο σπίρτο. Αν ξεκινάς πρώτος, με ποια στρατηγική θα κερδίσεις στα σίγουρα το παιχνίδι;

Ανάλυσης - Ευθείες από 9 νομίσματα (****)

Τοποθετούμε εννέα νομίσματα έτσι ώστε να σχηματίζουν 3 οριζόντιες, 3 κάθετες και 2 διαγώνιες ευθείες νομισμάτων, κάθε μία από τις οποίες περιλαμβάνει τρία νομίσματα, σύμφωνα με την εικόνα. Το σύνολο των ευθειών αυτών είναι 8.

Μπορείτε να αναδιατάξετε κάποια νομίσματα έτσι ώστε να σχηματίζουν 10 ευθείες των τριών νομισμάτων η κάθε μία;
Η λύση του προβλήματος δεν έχει κανένα απολύτως κόλπο. Κατασκευάζεται στο επίπεδο όπως και αυτή των 8 ευθειών και γενικά ακολουθεί ακριβώς τους ίδιους κανόνες.

γρίφος ευθείες από νομίσματα

Ανάλυσης - Ημερομηνίες από κύβους (***)

Θέλεις να φτιάξεις ένα ημερολόγιο το οποίο θα δείχνει την ημέρα του μήνα με ένα σύστημα δύο κύβων τοποθετημένων δίπλα-δίπλα, οι οποίοι στην κάθε έδρα τους θα έχουν από ένα ψηφίο. Έτσι π.χ. η 3η του μηνός συμβολίζεται σαν "03", γυρνώντας τον πρώτο κύβο να δείχνει το ψηφίο 0 και τον δεύτερο να δείχνει το ψηφίο 3. Είναι άραγε δυνατή μια τέτοια κατασκευή, ώστε να απεικονίζονται σωστά όλες οι ημερομηνίες από 01 έως 31 του μηνός; Ποιο ψηφίο θα πρέπει να βάλεις σε κάθε έδρα του κάθε κύβου;

Ανάλυσης - Μεταφορά βαρελιών (**)

Ένα φορτηγό ξεκινάει από το κάτω μέρος ενός ανηφορικού δρόμου και θέλει να ανεβάσει 10 βαρέλια γεμάτα με πετρέλαιο στο πάνω μέρος του δρόμου. Μπορεί να μεταφέρει μόνο ένα βαρέλι κάθε φορά. Το φορτηγό δεν έχει ρεζερβουάρ και για να ανέβει την ανηφόρα συνδέει το βαρέλι που μεταφέρει με τον κινητήρα του και καίει το πετρέλαιο του βαρελιού. Για να ανέβει από τη βάση του δρόμου ως την κορυφή του, χρειάζεται να καταναλώσει ακριβώς το περιεχόμενο ενός βαρελιού.


Διευκρίνηση: Το φορτηγό μπορεί να κάνει όσες στάσεις θέλει και να φορτώσει ή να ξεφορτώσει βαρέλια. Στην επιστροφή δεν καίει πετρέλαιο γιατί ο δρόμος είναι κατηφορικός. Έστω πως ο οδηγός γνωρίζει πως το συνολικό μήκος της διαδρομής είναι x μέτρα.

Ερώτημα απλούστερο: Μπορεί να ανεβάσει κάποια ποσότητα πετρελαίου μέχρι πάνω και με ποιον τρόπο;

Ερώτημα δύσκολο: Ποια είναι η μέγιστη δυνατή ποσότητα πετρελαίου που μπορεί να ανεβάσει;

Ανάλυσης - Στρώσιμο τραπεζιού (****)

Δουλεύεις σ' ένα εστιατόριο και ο συνάδελφός σου σε προκαλεί σ' ένα παιχνίδι από το οποίο ο χαμένος θα πλύνει τα πιάτα στο τέλος της βάρδιας: Τοποθετείτε εναλλάξ έναν μεγάλο αριθμό ίδιων πιάτων οπουδήποτε πάνω σ' ένα στρογγυλό τραπέζι και ο πρώτος που δεν θα έχει χώρο για να τοποθετήσει το πιάτο του, χάνει το παιχνίδι. Τα πιάτα πρέπει να ακουμπάνε κανονικά πάνω στο τραπέζι και δεν επιτρέπεται να επικαλύπτονται μεταξύ τους. Θα διαλέξεις να παίξεις πρώτος ή δεύτερος; Ποια στρατηγική θ' ακολουθήσεις για να κερδίσεις στα σίγουρα το παιχνίδι;

Ανάλυσης - Διαδρομή λεωφορείου (**)

Ένας οδηγός λεωφορείου βρήκε έναν τρόπο για να καλύψει όλη την παρακάτω διαδρομή, ξεκινώντας από το σημείο Α και καταλήγοντας στο σημείο Β, χωρίς να περάσει δύο φορές από τον ίδιο δρόμο και χωρίς να διασταυρωθεί με ένα κομμάτι διαδρομής που έχει ήδη καλύψει. Μπορείτε να τον βρείτε;

γρίφος διαδρομή λεωφορείου

Ανάλυσης - Κάψιμο φιτιλιών (***)

Εχουμε δύο φιτίλια με ελεύθερα τα άκρα τους, χωρίς δηλαδή να συνδέονται σε κερί. Κάθε φιτίλι καίγεται σε μία ώρα. Έχουν όμως διαφορετικό μήκος και πλάτος το καθένα, ενώ η πυκνότητα του κάθε φιτιλιού δεν είναι η ίδια σε κάθε σημείο του. Έχουμε και έναν αναπτήρα με τον οποίο μπορούμε να τα ανάψουμε. Μπορείτε να μετρήσετε ακριβώς 45 λεπτά;

Διευκρινίσεις:
1) Διαφορετική πυκνότητα σε κάθε σημείο του φιτιλιού σημαίνει πως δεν μπορούμε να το κόψουμε στη μέση και να μετρήσουμε έτσι μισή ώρα.
2) Ο χρόνος μετράται αποκλειστικά καίγοντας φιτίλια. Δεν διαθέτουμε κανένα άλλο μέσο μέτρησης χρόνου.

Έμπνευσης - Ο ένας πίσω απ' τον άλλον (**)

Πως είναι δυνατόν να σταθείς πίσω απ' τον πατέρα σου κι εκείνος πίσω από εσένα;

Ανάλυσης - Μπουκάλι κρασί (**)

Έχουμε ένα μπουκάλι κρασί βουλωμένο με φελλό, έτσι ώστε το πάνω μέρος του φελλού να φτάνει μέχρι το χείλος του μπουκαλιού. Πώς θα πιούμε το κρασί αν δεν έχουμε κανένα εργαλείο και χωρίς να σπάσουμε το μπουκάλι;

Έμπνευσης - Ο φακίρης (***)

Ένας φακίρης έχει ένα καλάθι που περιέχει μια θανατηφόρα κόμπρα που δεν υπνωτίζεται με τίποτα και ένα διαμάντι που του 'πεσε μέσα κατά λάθος. Το καλάθι έχει από πάνω ένα άνοιγμα που χωράει ίσα - ίσα το χέρι του και κατά τα άλλα είναι τελείως κλειστό. Πως θα πάρει το διαμάντι, χωρίς να χρησιμοποιήσει κανένα εργαλείο και χωρίς να βλάψει την κόμπρα;

Έμπνευσης - Διακόπτες και λάμπες (***)

Έχουμε ένα δωμάτιο με τρεις λάμπες, οι διακόπτες των οποίων είναι στο υπόγειο. Ένας ηλεκτρολόγος ξεκινώντας απ' το υπόγειο και αναβοσβήνοντας όπως θέλει τους τρεις διακόπτες (έχουν ένδειξη on / off), πρέπει όταν ανέβει για πρώτη φορά στο δωμάτιο να βρει ποιος διακόπτης αντιστοιχεί σε ποια λάμπα. Πως θα το κάνει αυτό δεδομένου ότι είναι μόνος του και δεν μπορεί να δει ποια λάμπα ανάβει σε κάθε του κίνηση;

Ανάλυσης - Το μακρύ καλάμι (****)

Ένας ψαράς θέλει να ταξιδέψει αεροπορικώς μεταφέροντας μαζί του ένα καλάμι ψαρέματος. Δυστυχώς ο υπεύθυνος της εταιρίας του λέει πως το καλάμι του έχει 5 εκατοστά μεγαλύτερο μήκος από αυτό που επιτρέπουν οι κανονισμοί. Ο ψαράς μελέτησε το πρόβλημα και βρήκε έναν τρόπο για να το συσκευάσει χωρίς να το λυγίσει ή να το κοντύνει και χωρίς να παραβεί τους κανονισμούς. Τι έκανε;

Συνδυαστικής Σκέψης - Το κλουβί με τα λιοντάρια (***)

Σε ένα μεγάλο κλουβί είναι κλεισμένα 57 λιοντάρια και ένα πρόβατο. Αν κάποιο λιοντάρι φάει το πρόβατο τότε το πιάνει υπνηλία (από τη βαρυστοµαχιά) και είναι ευάλωτο σε επίθεση άλλου λιονταριού. Γίνεται έτσι κατά κάποιο τρόπο ψευδο-πρόβατο, δηλαδή υποψήφιο θύμα.
Υποθέστε πως αν κάποιο λιοντάρι σκοτώσει το θύμα του τότε το τρώει µόνο του. Επίσης υποθέστε πως όλα τα λιοντάρια είναι λογικά και όλα ξέρουν ότι και τα άλλα λιοντάρια σκέφτονται λογικά. Οι προτεραιότητες του κάθε λιονταριού είναι πρώτα να ζήσει το ίδιο και εφόσον δεν διατρέχει κίνδυνο, να φάει κάποιο θύμα. Τα λιοντάρια θα μπορούσαν να επιζήσουν και χωρίς να φάνε το πρόβατο ή το όποιο άλλο υποψήφιο θύμα, δηλαδή τους παρέχεται τροφή και µε άλλο τρόπο.

Η ερώτηση είναι: Θα επιβιώσει το πρόβατο;

Συνδυαστικής Σκέψης - Το μαγικό ραβδί (***)

Κάποιος θέλει να σου πουλήσει για 10 ευρώ ένα μαγικό ραβδί το οποίο μετατρέπει σε χρυσό ότι ακουμπήσει με την άκρη του. Μπορείς να το χρησιμοποιήσεις μέχρι τρεις φορές. Το μόνο πρόβλημα είναι πως θα πρέπει μέσα σε ένα χρόνο να το ξαναπουλήσεις σε μικρότερη τιμή από αυτή που το αγόρασες, αλλιώς σε περιμένει αιώνια δυστυχία. Θα αγοράσεις το ραβδί;

Συνδυαστικής Σκέψης - Το μοίρασμα του χρυσού (*****)

Πέντε πειρατές έκλεψαν ένα σεντούκι με 100 χρυσά νομίσματα. Επειδή όμως είχαν διαφορά στην ιεραρχία, ο αρχηγός τους δεν θεώρησε δίκαιο να πάρει ο καθένας από 20 και γι' αυτό πρότεινε την ακόλουθη δημοκρατική διαδικασία για να μοιράσουν τα νομίσματα:

Ξεκινώντας, ο τελευταίος πειρατής στην ιεραρχία, ο Νο 5, θα προτείνει μία κατανομή των νομισμάτων που τον συμφέρει. Εάν συμφωνήσει μαζί του η πλειοψηφία των πειρατών (οι μισοί συν ένας), συμπεριλαμβανομένου και του εαυτού του, τότε η μοιρασιά θα γίνει σύμφωνα με τον τρόπο που υπέδειξε. Αλλιώς δεν παίρνει τίποτα, χάνει το δικαίωμα ψήφου του και η διαδικασία επαναλαμβάνεται με τον πειρατή Νο 4 να κάνει μια πρόταση, κ.ο.κ., μέχρι η πλειοψηφία των εναπομεινάντων πειρατών να συμφωνήσει σε κάτι.

Λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι όλοι οι πειρατές είναι εξαιρετικά άπληστοι, σκέφτονται λογικά και γνωρίζουν καλά ο ένας τον άλλο, ποια θα πρέπει να είναι η πρόταση του πειρατή Νο 5;

Συνδυαστικής Σκέψης - Τρία καπέλα (****)

Τρεις λογικολόγοι κάθονται σε μία σειρά, έτσι ώστε ο τελευταίος να βλέπει τους δύο μπροστινούς του, ο μεσαίος τον πρώτο και ο πρώτος κανέναν. Ένας κριτής φοράει στον καθένα τους από ένα άσπρο ή ένα κόκκινο καπέλο. Τους λέει πως τουλάχιστον ένα καπέλο είναι κόκκινο, αλλά κανείς τους δεν μπορεί να δει το καπέλο που φοράει.
Κερδίζει όποιος βρει το χρώμα του καπέλου του, ξεκινώντας από τον τρίτο στη σειρά. Αυτός δηλώνει πως δεν ξέρει τι χρώμα καπέλο φοράει. Έρχεται η σειρά του δεύτερου, ο οποίος λέει το ίδιο. Όταν έρχεται η σειρά του πρώτου, παρόλο που δεν βλέπει κανέναν τους, δηλώνει με ικανοποίηση πως ξέρει τι χρώμα καπέλο φοράει. Πως το βρήκε και τι χρώμα είναι αυτό;

Συνδυαστικής Σκέψης - Τρεις βούλες (****)

Τρεις λογικολόγοι κάθονται σχηματίζοντας ένα τρίγωνο, έτσι ώστε ο καθένας τους να βλέπει τους άλλους δύο. Ένας κριτής έχει βάψει μία άσπρη ή μία κόκκινη βούλα στο κούτελο του καθενός τους. Το μόνο στοιχείο που τους δίνει είναι ότι τουλάχιστον μία βούλα είναι κόκκινη. Κανένας τους δεν μπορεί να δει τη βούλα που έχει στο μέτωπό του.
Αφού κοιτάζονται για λίγη ώρα, ένας από τους τρεις σηκώνεται και ανακοινώνει πως ξέρει τι χρώμα βούλα έχει στο μέτωπό του. Πως είναι δυνατόν αυτό και μάλιστα με οποιονδήποτε συνδυασμό και αν τους έβαφε ο κριτής, προσέχοντας πάντα η μία τουλάχιστον βούλα να είναι κόκκινη;

Συνδυαστικής Σκέψης - Οι στιγματισμένοι μοναχοί (*****)

Σ' ένα μοναστήρι, ο αρχι-ηγούμενος συγκεντρώνει ένα πρωί όλους τους μοναχούς και τους λέει πως κάποιος ή κάποιοι από αυτούς έχουν πάνω τους το σημάδι του σατανά και πως πρέπει να το καταλάβουν μόνοι τους και να φύγουν απ' το μοναστήρι το νωρίτερο δυνατόν. Το σημάδι αυτό είναι ένα κόκκινο στίγμα στο μέτωπο. Η μοναδική επαφή που έχουν οι μοναχοί μεταξύ τους είναι οπτική: κάθε πρωί συγκεντρώνονται όλοι, σχηματίζουν έναν μεγάλο κύκλο και προσεύχονται. Έτσι μπορούν να δουν ο ένας τον άλλο, αλλά απαγορεύεται να του μιλήσουν ή να του κάνουν οποιοδήποτε νόημα. Επίσης σ' όλο το μοναστήρι δεν υπάρχουν καθρέφτες, οπότε είναι αδύνατο να δει ένας μοναχός εάν έχει το στίγμα.
Την πρώτη μέρα δεν φεύγει από το μοναστήρι κανείς. Τη δεύτερη μέρα δεν φεύγει κανείς. Την τρίτη μέρα ένας αριθμός μοναχών φεύγει από το μοναστήρι γιατί κατάλαβαν πως έχουν το στίγμα. Πόσοι ήταν αυτοί;

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Πιθανοτήτων - Μικρό και μεγάλο ποσό (****)

Έχετε μπροστά σας δύο φακέλους που περιέχουν από ένα χρηματικό ποσό ο καθένας. Δεν γνωρίζετε τίποτα γι αυτά τα δύο ποσά παρά μόνο ότι είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ας τα ονομάσουμε X και Υ. Ανοίγετε στην τύχη τον έναν από τους δύο φακέλους και ας πούμε πως περιέχει το ποσό Χ. Με δεδομένο πως τα δύο ποσά μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλα, μπορούμε να εκτιμήσουμε με πιθανότητα μεγαλύτερη του 50% αν το ποσό που ανοίξαμε είναι το μεγάλο ή το μικρό και αν ναι πώς;

Πιθανοτήτων - Δύο άσσοι (***)

Έχουμε μια μπλε και μια κόκκινη τράπουλα. Από την κάθε μία χρησιμοποιούμε μόνο τους τέσσερις άσσους και τους τέσσερις ρήγες. Ανακατεύουμε τα 8 φύλλα της μπλε τράπουλας και μοιράζουμε δύο από αυτά, κλειστά, στον παίκτη Α. Ανακατεύουμε και τα 8 φύλλα της κόκκινης τράπουλας και μοιράζουμε δύο από αυτά, κλειστά, στον παίκτη Β.
Ρωτάμε τον παίκτη Α αν έχει άσσο στα δύο φύλλα του και μας απαντάει "ναι".
Ρωτάμε τον παίκτη Β αν έχει τον άσσο σπαθί στα δύο φύλλα του και μας απαντάει επίσης "ναι".

Ποιος από τους δύο παίκτες είναι πιθανότερο να κρατάει στο χέρι του δύο άσσους; 
Δώστε πρώτα τη διαισθητική σας απάντηση και στη συνέχεια αν μπορείτε υπολογίστε την πιθανότητα του καθενός.

Ανάλυσης - Ταξίδι μετ' επιστροφής (**)

Τον περασμένο μήνα έκανα ένα ταξίδι με το αυτοκίνητό μου από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη. Επειδή ήμουν βιαστικός, ξεκίνησα τη Δευτέρα το πρωί στις 7:15 και κατάφερα να φτάσω στη Θεσσαλονίκη στις 12:15. Την επόμενη μέρα ξεκίνησα το ταξίδι της επιστροφής για Αθήνα. Δεν βιαζόμουν καθόλου, οπότε έφυγα στις 9:00 το πρωί και πήρα τον ίδιο δρόμο που είχα έρθει. Επέστρεψα στην Αθήνα στις 16:00 το απόγευμα, γιατί έκανα και δύο στάσεις για καφέ και φαγητό.

Ποια είναι η πιθανότητα να βρέθηκα στο ίδιο σημείο της διαδρομής (από την αντίθετη βέβαια πλευρά του δρόμου) ακριβώς την ίδια ώρα της ημέρας;

Πιθανοτήτων - Κόκκινες και πράσινες κάρτες (***)

Ένας πλούσιος χαρτοπαίκτης σας προτείνει να παίξετε το παρακάτω παιχνίδι:

Κρατάει στα χέρια του ένα σακούλι το οποίο περιέχει τρεις κάρτες. Η μία είναι κόκκινη και από τις δύο πλευρές, η άλλη είναι πράσινη και από τις δύο πλευρές και η τρίτη έχει τη μία πλευρά της κόκκινη και την άλλη πράσινη. Xωρίς να βλέπετε, τραβάτε μία κάρτα από το σακούλι και την ακουμπάτε πάνω στο τραπέζι. Σηκώνετε το χέρι σας και αποκαλύπτεται ότι η πλευρά της που φαίνεται είναι κόκκινη.

Τότε ο χαρτοπαίκτης σας λέει πως μπορείτε να ποντάρετε οποιοδήποτε ποσό θέλετε και αν η άλλη πλευρά της κάρτας είναι πράσινη, θα διπλασιάσετε το ποσό αυτό και αν είναι κόκκινη θα το χάσετε. Δέχεστε το στοίχημα ή όχι και γιατί;

Πιθανοτήτων - Ιός της γρίπης (****)

Στην πόλη του κύριου Γιάννη κυκλοφορεί ένας επικίνδυνος ιός. Ευτυχώς το ποσοστό των ανθρώπων που προσβάλλεται από αυτόν είναι μόνο 0,1%. Ο ιός δεν έχει συμπτώματα στα αρχικά του στάδια και ανιχνεύεται μόνο μέσω ενός ειδικού τεστ που οι γιατροί συνιστούν να κάνουν προληπτικά όλοι οι πολίτες.

Πηγαίνει λοιπόν και ο κ. Γιάννης να κάνει το τεστ και προς μεγάλη του έκπληξη ο γιατρός του λέει πως έχει προσβληθεί από τον ιό. Ο κ. Γιάννης ρωτάει πόσο ακριβές είναι το τεστ που του έκαναν και ο γιατρός του απαντάει πως είναι πολύ ακριβές και δίνει τη σωστή διάγνωση στο 95% των περιπτώσεων. Μόνο σε ένα 5% δίνει το αντίθετο αποτέλεσμα από το σωστό. Ο κ. Γιάννης έχει ανησυχήσει, αλλά δεν μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα να έχει προσβληθεί πράγματι από τον ιό. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Πιθανοτήτων - Διαγώνισμα 10 ερωτήσεων (***)

Συμμετέχετε σε ένα διαγώνισμα 10 ερωτήσεων. Για κάθε σωστή απάντηση που δίνετε παίρνετε 1 βαθμό, για κάθε λάθος απάντηση σας αφαιρείται 1 βαθμός και αν δεν απαντήσετε κάποια ερώτηση δεν βαθμολογήστε γι αυτήν.
Σας ενδιαφέρει μόνο να πιάσετε τη βάση που είναι το 5. Υψηλότερη βαθμολογία δεν έχει καμία σημασία για σας.
Γνωρίζετε εξίσου καλά και τις 10 ερωτήσεις του διαγωνίσματος, πράγμα που σημαίνει ότι το να δώσετε τη σωστή απάντηση σε κάποια ερώτηση είναι πιθανότερο από το να δώσετε μια λανθασμένη, αλλά αυτό το τελευταίο ενδεχόμενο δεν αποκλείεται.

Σε πόσες ερωτήσεις του διαγωνίσματος θα πρέπει να απαντήσετε για να μεγιστοποιήσετε την πιθανότητά σας να πιάσετε τουλάχιστον τη βάση;

Πιθανοτήτων - Θέση στο αεροπλάνο (****)

Βρίσκεστε στην 100η θέση μιας ουράς για επιβίβαση σε ένα αεροπλάνο 100 θέσεων.
Ο πρώτος επιβάτης ανεβαίνει στο αεροπλάνο, αλλά δυστυχώς έχει χάσει το απόκομμα του εισιτηρίου του που δείχνει σε ποια θέση πρέπει να κάτσει κι έτσι κάθεται σε μια θέση στην τύχη.
Ο επόμενος επιβάτης κάθεται κανονικά στη θέση που λέει το εισητήριό του, εκτός κι αν είναι κατειλημμένη, οπότε κάθεται κι αυτός σε μια θέση στην τύχη. Αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να έρθει η δική σας σειρά να επιβιβαστείτε.
Τι πιθανότητα έχετε να κάτσετε στη θέση που αναγράφεται στο εισιτήριό σας;

Πιθανοτήτων - Οι τρεις κρατούμενοι (****)

Σε μια φυλακή βρίσκονται τρεις κρατούμενοι, οι Α, Β και Γ. Μια μέρα ο δεσμοφύλακας τους ανακοινώνει πως αποφασίσθηκε να ελευθερωθούν οι δύο από αυτούς. Το ποιοι θα είναι έχει επίσης αποφασισθεί αλλά όπως τους είπε δεν μπορεί να το ανακοινώσει μέχρι αύριο.

Μετά από λίγα λεπτά, ο Α που είχε κάπως πιο φιλικές σχέσεις με τον δεσμοφύλακα τον πιάνει και τον ρωτάει αν θα είναι αυτός ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν. Δεν μπορώ να σου το πω αυτό, του απαντάει ο δεσμοφύλακας. Τουλάχιστον πες μου τον έναν από τους άλλους δύο που θα ελευθερωθεί, λέει ο Α και σου υπόσχομαι να μην τους πω τίποτα. Εντάξει, λέει ο φύλακας. Ο Β θα είναι ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν.

Τι πιθανότητα υπάρχει εκείνη τη στιγμή να ελευθερωθεί ο Α;

Πιθανοτήτων - Μοίρασμα της τράπουλας (****)

Τέσσερις φίλοι παίζουν σε ζευγάρια ένα παιχνίδι με χαρτιά στο οποίο μοιράζονται όλα τα φύλλα της τράπουλας (χωρίς τους μπαλαντέρ, δηλαδή 13 φύλλα ανά παίκτη).

Τι είναι πιο πιθανό για το πρώτο ζευγάρι: Να πάρει όλα τα καρό της τράπουλας ή να μην πάρει κανένα;

Πιθανοτήτων - Τέσσερα κουτιά με χρήματα (***)

Σε κάποιο τηλεπαιχνίδι ο παρουσιαστής σε βάζει μπροστά σε τέσσερα κλειστά κουτιά που περιέχουν μία δεσμίδα χαρτονομίσματα το καθένα. Είναι γνωστό πως δεν υπάρχουν δύο κουτιά με το ίδιο ποσό, αλλά δεν γνωρίζεις το ποσό κανενός κουτιού. Σκοπός του παιχνιδιού είναι να βρεις το κουτί με το μεγαλύτερο ποσό, το οποίο και θα πάρεις, αλλιώς δεν παίρνεις τίποτα. Μπορείς ν' ανοίξεις όσα κουτιά θέλεις, αλλά πρέπει να επιλέξεις το ποσό του κουτιού που άνοιξες τελευταίο, ακόμα και αν είναι μικρότερο από κάποιο άλλο. Υπάρχει τρόπος ν' αυξήσεις την πιθανότητά σου να βρεις το μεγαλύτερο ποσό;

Λογικής - Δρομολόγια τρένων (**)

Η Αννα μένει κοντά σ' έναν σταθμό του τρένου και το χρησιμοποιεί για να πηγαίνει να βλέπει τον φίλο της. Αυτό που την προβληματίζει όμως είναι το εξής: Οποιαδήποτε ώρα και αν πάει στον σταθμό, το τρένο που πάει προς την αντίθετη κατεύθυνση έρχεται σχεδόν πάντα πριν από αυτό που πάει προς το σπίτι του φίλου της. Και τα δύο δρομολόγια περνούν κάθε δέκα λεπτά και μάλιστα ακριβώς την ίδια ώρα κάθε ημέρα. Γιατί συμβαίνει αυτό;

Πιθανοτήτων - Τριπλή μονομαχία (****)

Τρεις λόρδοι αποφασίζουν να λύσουν τις διαφορές τους σε μια τριπλή μονομαχία με πιστόλια. Σχηματίζουν ένα μεγάλο τρίγωνο και ξεκινούν ως εξής: Πρώτος πυροβολεί ο Α, δεύτερος ο Β και τρίτος ο Γ. Ο κύκλος αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι να μείνει μόνο ένας ζωντανός. Ο Α βρίσκει τον στόχο με πιθανότητα 1/3, ο Β δεν αστοχεί ποτέ και ο Γ βρίσκει στόχο με πιθανότητα 1/2 (ή 50%). Ποια είναι η καλύτερη στρατηγική για τον Α, για να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει και ποια είναι η πιθανότητα αυτή;

Πιθανοτήτων - Οι δύο στάμνες (**)

Έχουμε δύο ίδιες στάμνες. Η μία περιέχει 50 λευκούς βόλους και η άλλη 50 μαύρους. Κάποιος μας λέει πως θα τραβήξει έναν βόλο στα τυφλά από μία τυχαία στάμνα και εάν είναι λευκός θα μας ανταμείψει με ένα δώρο, ενώ εάν είναι μαύρος έχουμε χάσει. Έχουμε δικαίωμα από πριν να μετακινήσουμε όσους βόλους θέλουμε από τη μία στάμνα στην άλλη, αφήνοντας όμως μέσα στις δύο στάμνες και τους 100 βόλους. Πως θα κατανείμουμε τους βόλους ώστε να μεγιστοποιήσουμε την πιθανότητα να τραβήξει έναν λευκό;

Πιθανοτήτων - Τα δύο παιδιά του βασιλιά (***)

Ένας βασιλιάς λίγο πριν πεθάνει εκμυστηρεύτηκε στη σύζυγό του πως τα δύο πράγματα που τον έκαναν πιο υπερήφανο στη ζωή του είναι τα δύο παιδιά που έκανε μαζί της και πως το ένα από αυτά θα τον διαδεχτεί στο θρόνο.
Με δεδομένο ότι μόνο ένα αγόρι μπορεί να διαδεχτεί στο θρόνο τον πατέρα του, ποια είναι η πιθανότητα τα παιδιά του βασιλιά να είναι δύο αγόρια;

Πιθανοτήτων - Ζονγκ (****)

Το παρακάτω πρόβλημα βασίζεται στο τηλεπαιχνίδι με τις τρεις πόρτες και τον Ζονγκ. Σε βάζει ο παρουσιαστής του παιχνιδιού να διαλέξεις ανάμεσα σε τρεις πόρτες εκ των οποίων η μία περιέχει κάποιο δώρο και οι άλλες δύο Ζονγκ, δηλαδή αν επιλέξεις αυτές δεν κερδίζεις τίποτα. Εσύ διαλέγεις μία πόρτα και ο παρουσιαστής (που γνωρίζει που είναι το δώρο) ανοίγει μία άλλη, αποκαλύπτοντας ένα Ζονγκ. Σου δίνει το δικαίωμα να αναθεωρήσεις την αρχική σου επιλογή και να αλλάξεις πόρτα.
Τι αποφασίζεις; Θα κρατήσεις την πόρτα που είχες διαλέξει αρχικά, θα επιλέξεις την άλλη, ή δεν έχει καμία σημασία;

Πιθανοτήτων - Ρώσικη ρουλέτα (***)

Βρίσκεσαι σ' ένα παιχνίδι ρώσικης ρουλέτας. Το πιστόλι είναι εξάσφαιρο, αλλά αντί για μία έχει μέσα τρεις σφαίρες, τοποθετημένες στη σειρά (η μία μετά την άλλη). Ο μύλος γυρίζει μόνο μία φορά και σταματάει σε μία τυχαία θέση. Οι δύο παίχτες πυροβολούν στο κεφάλι τους εναλλάξ, μέχρι ο ένας από τους δύο να σκοτωθεί. Ο αντίπαλός σου, σου δίνει το δικαίωμα να διαλέξεις αν θα είσαι ο πρώτος ή ο δεύτερος που θα δοκιμάσει. Τι διαλέγεις;

Έμπνευσης - Μετεωρολογία (**)

Αν σήμερα στις 12 τα μεσάνυχτα βρέχει, ποια είναι η πιθανότητα να έχει λιακάδα μετά από 72 ώρες;

Πέμπτη, 22 Οκτωβρίου 2009

Παράδοξα - Ανταλλαγή φακέλων (****)

Η Αλίκη και ο Βασίλης τραβάνε στην τύχη από έναν κλειστό φάκελο ο καθένας. Ο οργανωτής του παιχνιδιού τους λέει πως ο κάθε φάκελος έχει μέσα ένα χρηματικό ποσό το οποίο το έχουν ήδη κερδίσει. Τους λέει επίσης ότι ο ένας φάκελος έχει το διπλάσιο ποσό από τον άλλον, χωρίς να τους αποκαλύψει ποιος. Στη συνέχεια τους δίνεται το δικαίωμα αν θέλουν να ανταλλάξουν μεταξύ τους φακέλους.

Η Αλίκη υπολογίζει το κέρδος που αναμένεται να έχει αν δεχτεί να αλλάξει φακέλους ως εξής:
Αν x είναι το ποσό που έχει μέσα ο φάκελός της, τότε με πιθανότητα 1/2 διπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος x, ενώ με πιθανότητα 1/2 υποδιπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος -x/2. Σύμφωνα με αυτόν τον συλλογισμό το αναμενόμενο κέρδος της είναι:
(1/2) * x + (1/2) * –x/2 = x/4.
Άρα έχει 25% αναμενόμενο κέρδος αν αλλάξει φακέλους και συνεπώς δέχεται να κάνει την αλλαγή.
Τον ίδιο συλλογισμό κάνει και ο Βασίλης από τη δική του πλευρά και καταλήγει φυσικά στο ίδιο συμπέρασμα, ότι δηλαδή τον συμφέρει κι αυτόν να αλλάξει φακέλους.
Έτσι πραγματοποιείται η αλλαγή. Πριν όμως ανοίξουν τους φακέλους τους και αποκαλυφθούν τα ποσά που κρύβουν, η Αλίκη επαναλαμβάνει τον συλλογισμό της και βρίσκει πως η εκ νέου αλλαγή φακέλων θα της αποφέρει ένα επιπλέον κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 25%, το οποίο προκύπτει αν αντί του x στον τύπο βάλουμε το x + x/4 που είναι το ποσό που αναμένει να έχει τώρα στον φάκελό της. Το ίδιο υπολογίζει και ο Βασίλης, οπότε ξανα-αλλάζουν φακέλους και ο καθένας τους θεωρεί πως τώρα έχει ένα αναμενόμενο κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 50%. Με το ίδιο σκεπτικό συνεχίζουν να αλλάζουν φακέλους μέχρι να γίνουν και οι δύο πάμπλουτοι.
Στην παραπάνω λογική κάτι πρέπει να πηγαίνει τελείως λάθος, αλλά τι ακριβώς;

Παράδοξα - Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (****)

Κάποιος σας προτείνει να παίξετε ένα παιχνίδι τύχης με τους εξής όρους: Θα ρίχνετε συνεχώς ένα νόμισμα μέχρι αυτό να φέρει για πρώτη φορά Κορώνα. Αν αυτό συμβεί με την πρώτη σας προσπάθεια θα σας δώσει 2 ευρώ και το παιχνίδι θα τελειώσει. Αν συμβεί με τη δεύτερη προσπάθειά σας θα σας δώσει 4 ευρώ. Αν συμβεί με την τρίτη θα σας δώσει 8 ευρώ και γενικά όσο περισσότερο καθυστερεί η εμφάνιση της πρώτης Κορώνας, τόσο αυτός θα διπλασιάζει το ποσό που θα κερδίσετε. Το ερώτημα είναι ποιο είναι το μέγιστο ποσό που διατίθεστε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι;

Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε μια μαθηματική απάντηση στο πρόβλημα στην περίπτωση που ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μία φορά και αν δεν φέρετε Κορώνα δεν θα πάρετε τίποτα. Τότε το αναμενόμενο κέρδος σας θα ήταν:
1/2 * 2 ευρώ + 1/2 * 0 ευρώ = 1 ευρώ και άρα μέχρι 1 ευρώ θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να παίξετε.
Αν ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μέχρι δύο φορές το πολύ και αν δεν φέρετε Κορώνα μέχρι τότε δεν θα πάρετε τίποτα, τότε το αναμενόμενο κέρδος σας θα ήταν:
1/2 * 2 ευρώ + 1/2 * (1/2 * 4 ευρώ + 1/2 * 0 ευρώ) = 2 ευρώ και άρα μέχρι 2 ευρώ θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να παίξετε.
Γενικεύοντας, γίνεται φανερό πως αν ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μέχρι Ν φορές το πολύ, τότε θα σας συνέφερε να πληρώσετε μέχρι Ν ευρώ για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.

Στην πραγματική περίπτωση ο διοργανωτής δεν έθεσε περιορισμό για το μέχρι πόσες φορές μπορείτε να ρίξετε το νόμισμα και αυτό εξαρτάται μόνο από το πότε θα έρθει η πρώτη Κορώνα. Επειδή η πρώτη Κορώνα μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να εμφανισθεί, προκύπτει πως σαν συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.
Παρ' όλ' αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10 ευρώ περίπου για να παίξει. Που νομίζετε ότι οφείλεται αυτή η τεράστια διαφορά μεταξύ του μαθηματικού υπολογισμού και της ανθρώπινης διαίσθησης;

Παράδοξα - Ανακατασκευή τετραγώνου (****)

Παίρνουμε ένα τετράγωνο χαρτόνι και το διαγραμμίζουμε σε οκτώ επί οκτώ ίσα μικρότερα τετράγωνα, σαν σκακιέρα. Στη συνέχεια κόβουμε το χαρτόνι πάνω στις γραμμές που φαίνονται στο πρώτο σχήμα.
γρίφος παράδοξο αναδιάταξη τετράγωνο
Αναδιατάσσουμε τα κομμάτια ώστε να σχηματίσουμε ένα νέο σχήμα που είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις 13 x 5, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
Το αρχικό τετράγωνο αποτελούνταν από 8 x 8 = 64 μικρότερα τετράγωνα, ενώ το νέο σχήμα αποτελείται από 13 x 5 = 65 τετράγωνα. Πως προέκυψε αυτό το επιπλέον τετραγωνάκι;

Παράδοξα - Το παράδοξο του Russell (*****)

Σε μια βιβλιοθήκη υπάρχουν κάποιοι κατάλογοι που περιέχουν τίτλους βιβλίων σχετικών με κάποιο θέμα.
Για την καλύτερη εξυπηρέτηση των αναγνωστών, υπάρχουν και κάποιοι πιο γενικοί κατάλογοι οι οποίοι περιέχουν τίτλους των προηγούμενων καταλόγων αναλόγως με το θέμα στο οποίο αναφέρονται.
Από λάθος όμως, μερικοί από αυτούς τους γενικούς καταλόγους περιέχουν και τον τίτλο του εαυτού τους. Όταν ο υπεύθυνος της βιβλιοθήκης αντιλήφθηκε το λάθος αποφάσισε να φτιάξει έναν νέο κατάλογο, τον οποίο ονόμασε «Κατάλογος Σωστών Καταλόγων» και ο οποίος θα περιέχει όλους τους τίτλους των γενικών καταλόγων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.
Και εδώ εμφανίζεται το παράδοξο: Θα πρέπει να συμπεριλάβει στον νέο κατάλογό του τον καινούργιο τίτλο; Αν τον συμπεριλάβει τότε θα περιέχει τον εαυτό του και άρα δεν θα είναι σωστός κατάλογος. Αν δεν τον συμπεριλάβει τότε ο νέος κατάλογος δεν θα περιέχει όλους τους τίτλους των γενικών καταλόγων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.

Παράδοξα - Το παράδοξο του Ζήνωνα (*)

Ο Αχιλλέας έκανε αγώνα δρόμου με μια χελώνα. Επειδή όμως ήταν σαφώς πιο γρήγορος από αυτήν, ξεκίνησαν με μια απόσταση μεταξύ τους S0. Όταν ο Αχιλλέας έφτασε στο σημείο που βρισκόταν αρχικά η χελώνα, αυτή στο μεταξύ είχε προχωρήσει κατά μια απόσταση S1. Όταν ο Αχιλλέας κάλυψε την απόσταση S1, η χελώνα είχε στο μεταξύ προχωρήσει κατά μια μικρότερη απόσταση S2.
Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία φαίνεται πως ο Αχιλλέας δεν θα μπορούσε ποτέ να ξεπεράσει τη χελώνα. Ποια είναι η λύση αυτού του παραδόξου;

Παράδοξα - Ποιος ξυρίζει τον κουρέα; (**)

Σε ένα χωριό ισχύουν οι παρακάτω δύο κανόνες:

1) Υπάρχει μόνο ένας κουρέας
2) Ο κάθε κάτοικος είτε ξυρίζεται μόνος του είτε τον ξυρίζει ο κουρέας

Το ερώτημα που προκύπτει είναι ποιος ξυρίζει τον κουρέα;

- Αν ξυρίζεται μόνος του τότε δεν τον ξυρίζει ο κουρέας, πράγμα άτοπο, γιατί ο ίδιος είναι κουρέας.
- Αν τον ξυρίζει κάποιος άλλος τότε αυτός ο άλλος πρέπει να είναι κουρέας, πράγμα άτοπο γιατί υπάρχει μόνο ένας κουρέας.

Παράδοξα - Το διαγώνισμα έκπληξη (**)

Μια Παρασκευή μεσημέρι λέει η δασκάλα στους μαθητές της ότι την επόμενη εβδομάδα θα τους βάλει ένα διαγώνισμα έκπληξη, δηλαδή δεν θα το περιμένουν.
Αφού βγαίνει από την αίθουσα οι μαθητές κάθονται και σκέφτονται ψύχραιμα πως αν το διαγώνισμα δεν έχει μπει μέχρι την ερχόμενη Πέμπτη, τότε η μόνη διαθέσιμη μέρα για να μπει θα είναι η Παρασκευή. Τότε όμως όλοι θα το περιμένουν και άρα δεν θα είναι πια έκπληξη, οπότε η δασκάλα δεν μπορεί να βάλει το διαγώνισμα την Παρασκευή.
Αν περάσει η Τετάρτη και το διαγώνισμα δεν έχει μπει, τότε με δεδομένο ότι δεν μπορεί να μπει ούτε την Παρασκευή, θα πρέπει αναγκαστικά να μπει την Πέμπτη. Και πάλι όμως τότε όλοι θα το περιμένουν, οπότε ούτε και την Πέμπτη μπορεί να μπει το διαγώνισμα.
Συνεχίζοντας αυτή τη συλλογιστική, αποκλείονται μία-μία όλες οι μέρες της εβδομάδας και άρα η δασκάλα δεν μπορεί καμία μέρα να βάλει το διαγώνισμα έκπληξη.
Πως εξηγείται αυτό το παράδοξο;

Παράδοξα - Το παράδοξο του Πρωταγόρα (***)

Στον Πρωταγόρα αποδίδεται το παρακάτω θεωρητικό παράδοξο:

Ο Αρίστιππος ζήτησε από τον Πρωταγόρα να του διδάξει Νομική. Επειδή όμως δεν είχε λεφτά να τον πληρώσει, συμφώνησαν ο Πρωταγόρας να πληρωθεί μόλις ο Αρίστιππος κερδίσει την πρώτη του δίκη.
Ο Αρίστιππος όμως δεν τα κατάφερνε καθόλου καλά στο δικαστήριο και έτσι ο Πρωταγόρας του ζήτησε την καταβολή των χρημάτων του, παρόλο που δεν είχε κερδίσει ακόμα καμία δίκη. Ο Αρίστιππος αρνήθηκε επικαλούμενος τη συμφωνία τους και το θέμα έφτασε στα δικαστήρια.
Ο δικαστής που άκουσε την υπόθεση βρέθηκε στο παρακάτω λογικό παράδοξο:
Αν δικαίωνε τον Αρίστιππο με απόφαση να μην πληρώσει τον Πρωταγόρα τότε ο Αρίστιππος θα είχε μόλις κερδίσει την πρώτη του δίκη και για το λόγο αυτό θα έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα.
Αν από την άλλη, δικαίωνε τον Πρωταγόρα με απόφαση να πληρωθεί από τον Αρίστιππο τότε ο τελευταίος δεν θα είχε κερδίσει ακόμα την πρώτη του δίκη και έτσι δεν θα έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα.
Πως θα βγει ο δικαστής από αυτό το αδιέξοδο;

Παράδοξα - Άτοπη εξίσωση (**)

Ξεκινώντας από την υπόθεση ότι $α=β$ και με μια σειρά συνεπαγωγών καταλήγουμε στο αποτέλεσμα ότι $2=1$. Που βρίσκεται το λάθος;
$$α=β \Leftrightarrow$$ $$α^2=αβ \Leftrightarrow$$ $$α^2-β^2=αβ-β^2 \Leftrightarrow$$ $$(α+β)(α-β)=β(α-β) \Leftrightarrow$$ $$2β(α-β)=β(α-β) \Leftrightarrow$$ $$2β=β \Leftrightarrow$$ $$2=1$$

Παράδοξα - Παράδοξο της διαγωνίου (*)

Έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς 1 μέτρου και πρέπει να ενώσουμε με το μολύβι τις δύο απέναντι κορυφές του. Μπορούμε μόνο να φέρνουμε ευθύγραμμα τμήματα, όσο μικρά θέλουμε, που όμως πρέπει να είναι παράλληλα ή κάθετα με τις πλευρές του τετραγώνου.


Ο πιο απλός τρόπος είναι να φέρουμε πρώτα μια ευθεία πάνω στη βάση του και μετά μία πάνω στο ύψος του. Έτσι το συνολικό μήκος της γραμμής που φέραμε είναι 2 μέτρα.

Είναι αξιοσημείωτο ότι όσο μικρά κι αν είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που φέρνουμε, το συνολικό τους μήκος είναι πάντα 2 μέτρα, όπως φαίνεται στο σχήμα για τμήματα που ισούνται με το 1/5 και το 1/20 της πλευράς του τετραγώνου.

Για τμήματα ίσα με το 1/100 της πλευράς ή ακόμα μικρότερα, ουσιαστικά έχουμε φέρει τη διαγώνιο του τετραγώνου. Πως γίνεται όμως το συνολικό μήκος της γραμμής μας να είναι 2 μέτρα, αφού ως γνωστόν το μήκος της διαγωνίου είναι ρίζα 2 ;
 
γρίφος παράδοξο διαγώνιος

Παράδοξα - Που πήγε η γραμμή; (***)

Εάν κόψουμε το παρακάτω σχήμα κατά μήκος της διαγωνίου γραμμής και στη συνέχεια σύρουμε το επάνω τμήμα προς τα αριστερά, έτσι ώστε να συμπέσουν οι κάθετες γραμμές μεταξύ τους, θα δούμε πως οι 10 κάθετες γραμμές έγιναν τώρα 9. Που πήγε η 10η γραμμή;
γρίφος παράδοξο γραμμή